Нахождение максимума и минимума функции — примеры

Ключевые выводы из статьи:

Если вы готовитесь к экзамену и хотите разобрать подобные задачи под руководством опытного педагога, обратите внимание на структурированную подготовку к ЕГЭ по математике на базовом уровне — там собраны разборы типовых задач, тренажёры и методические материалы, которые помогут закрыть пробелы по основным темам экзамена, включая экстремума и производные.

Наш мир — это огромная коллекция взаимосвязей, которые порой явно, а порой невидимо влияют на всех, кто в них участвует. Ваше настроение может влиять на успеваемость в школе, питание — на спортивные достижения, навыки — на возможность поступить в университет. В физическом мире температура влияет на скорость протекания процесса, плотность тела — на его способность к плаванию в воде, угол падения лучей — на то, каким образом они будут преломляться, пройдя через прозрачную призму.

Некоторые из этих взаимоотношений можно описать математически: обозначить участников буквами латинского алфавита и описать их взаимосвязь через математические действия и знаки.

Функция — это правило, формула или выражение, которое описывает взаимосвязь двух величин.

Как описать зависимость пройденного пути от времени? $S(t) = vt.$

Есть ли правило, которое описывает отношение ускорения тела и силы, приложенной к нему? Да: $F = ma.$

А что, если нужно вычислить зависимость остатка денег от количества купленных товаров? Пожалуйста: $y = x — nc$, где $y$ — остаток денег, $x$ — исходная сумма, $n$ — количество товара, $c$ — стоимость товара за одну единицу.

В каждом из этих выражений есть зависимая и независимая переменные. Зависимая переменная — это и есть функция, а
независимая — аргумент. Так, в нашем последнем примере стоимость товара за одну его единицу
является независимой переменной (цену назначил продавец, и мы на это повлиять никак не можем). Зато остаток в
кошельке поддаётся изменениям — чем меньше мы купим товара, тем больше останется денег. И так в любой зависимости!

Обратите внимание: Зависимая переменная стоит слева от знака «равно» и определяется через выражение, содержащее аргумент.

Прежде чем искать наибольшее или наименьшее значение функции, важно понять, что именно мы исследуем.

$x$ — независимая переменная (аргумент)	$y = f(x)$ — зависимая переменная
Это «вход» функции — число, которое мы подставляем самостоятельно. Его также называют аргументом. В задаче «найти наибольшее значение функции на отрезке $[a;\, b]$» именно $x$ пробегает все значения от $a$ до $b$.	Это «выход» функции — результат вычисления по формуле. Мы ищем, при каком $x$ значение $f(x)$ будет наибольшим или наименьшим. Именно $y$ (или $f(x)$) является тем значением, которое мы сравниваем в таблице.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ определена (то есть вычислима). Например, для $f(x) = \sqrt{x}$ область определения — все $x \geq 0$, для $f(x) = \dfrac{1}{x}$ — все $x \neq 0$.

Связь области определения с задачей на экстремум: если в задаче дан отрезок $[a;\, b]$, но часть этого отрезка не входит в область определения функции, рассматривать нужно только пересечение $[a;\, b]$ с ОДЗ. Подставлять «недопустимые» значения $x$ в таблицу значений — грубая ошибка.

Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:

перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;

наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?

Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈

Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.

График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению (функции).

Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат независимая переменная отображается с помощью оси $OX,$ зависимая — с помощью оси $OY.$

В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:

На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает $y$ — зависимая переменная.

Наибольшее значение функции $y = f(x)$ на некотором промежутке $\{a; b\}$ — это значение $\max\ y = f (x_0),\ x_0 \in \{a; b\},$ которое при любом значении $x \in \{a; b\}, x\ne x_0$ делает справедливым неравенство $f(x) \leq f(x_0).$

Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение $y(x_0)$ больше, чем значение $y$ в окрестностях точки $x_0,$ то такой $y$ будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.

Наименьшее значение функции $y = f(x)$ на некотором промежутке $\{a; b\}$ — это значение $\min\ y = f (x_0),\ x_0 \in \{a; b\},$ которое при любом значении $x \in \{a; b\}, x\ne x_0$ делает справедливым неравенство $f(x) \geq f(x_0).$

Если на данном интервале значение $y(x_0)$ меньше, чем значение $y$ в окрестностях точки $x_0,$ то такой $y$ будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.

Локальный максимум в точке $x_0$ — это значение $f(x_0)$, которое больше значений функции в некоторой окрестности этой точки (то есть лишь «поблизости», а не на всём промежутке). Локальный минимум определяется аналогично — как наименьшее в окрестности.

Ключевое различие: локальный максимум — не обязательно наибольшее значение. Функция может иметь несколько локальных максимумов, и наибольший из них всё равно может быть меньше значения функции на конце отрезка.

Самый простой способ определить $y_{max}$ и $y_{min}$ — рассмотреть график.

Если заданный интервал представлен прямой:

при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;

при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Если заданный интервал представлен кривой:

максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;

минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Возможен и такой вариант, когда горы и овраги встречаются на одном промежутке — тогда мы просто объединяем оба пункта для нахождения $y_{max}$ и $y_{min}.$ Помним главное правило: максимальное значение функции всегда представлено самой высокой точкой относительно оси $OY,$ минимальное значение функции — самой низкой точкой.

Удобен ли способ нахождения $y_{max}$ и $y_{min}$ через график? Определённо! Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.

Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции. Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.

Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно
малом приращении аргумента.

Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция $(y)$ при бесконечно малом увеличении $x.$

По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных функций. Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.

Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.

Стационарная точка	Критическая точка
Точка $x_0$ внутри области определения, в которой производная существует и равна нулю: $f'(x_0) = 0$. Это «горизонтальная касательная» к графику функции.	Точка $x_0$, в которой производная равна нулю ИЛИ не существует (угловые точки, точки разрыва производной). Все стационарные точки — критические, но не наоборот.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и достигает в ней локального экстремума (максимума или минимума), то производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Простыми словами: в точке локального экстремума касательная к графику горизонтальна (параллельна оси $x$).

Почему теорема Ферма — это лишь необходимое, а не достаточное условие? Потому что $f'(x_0) = 0$ не гарантирует наличие экстремума. Классический контрпример: $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$. Производная $f'(0) = 0$, но экстремума нет — функция монотонно возрастает через эту точку, касательная горизонтальна, но знак производной не меняется. Такая точка называется точкой перегиба.

Признак первой производной — основной инструмент для определения типа критической точки на уровне школьной программы и ЕГЭ.

Признак первой производной (достаточное условие экстремума)

Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$. Тогда:

Стандартный способ оформления — таблица знаков, которую проверяющий эксперт ожидает увидеть в решении задания второй части.

$x$	$(-\infty;\, x_0)$	$x_0$	$(x_0;\, +\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	↗ возрастает	max	↘ убывает

$x$	$(-\infty;\, x_0)$	$x_0$	$(x_0;\, +\infty)$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↘ убывает	min	↗ возрастает

Перед разбором теории и примеров — готовый алгоритм, который работает для большинства школьных задач на отрезке. Сохраните его перед экзаменом.

Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.

Найдём производную данной функции.

Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).

Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них.

Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.

Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Разберём пару примеров.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y = x^2 + 5x — 6$ на отрезке $[-1; 5].$

Решение:

ОДЗ: $x \in R$

$y’=2x+5$

$2x + 5 = 0$

$x = -2{,}5$

$x=-2{,}5$ не попадает в промежуток $[-1;5]$. Найдём значение функции только в крайних точках:

$y(-1)=-10$

$y(5)=44$

Тогда $y=-10$ является наименьшим значением на данном отрезке, а $y=44$ наибольшим.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=\cfrac{1}{x+2}$ на отрезке $[2;4].$

ОДЗ: $x \in (-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$

$y’=\cfrac{1}{(x+2)^2}$

$\cfrac{1}{(x+2)^2}=0$, но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная не обращается в нуль, стационарных точек нет.

Найдём значение функции в крайних точках отрезка:

$y(2)=\cfrac{1}{4}$ — точка максимума на промежутке;

$y(4)=\cfrac{1}{6}$ — точка минимума на промежутке.

Шаг 0 (ОДЗ): Функция — многочлен, определена при всех $x$. ОДЗ $= \mathbb{R}$. Работаем на всём $[-2;\, 6]$.

Шаг 1. Производная:

$f'(x) = 3x^2 — 6x — 9 = 3(x^2 — 2x — 3) = 3(x — 3)(x + 1)$

Шаг 2. Стационарные точки: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$ и $x = -1$. Обе принадлежат $[-2;\, 6]$.

Шаг 3. Точки недифференцируемости: отсутствуют (многочлен).

Шаг 4. Таблица знаков:

$x$	$(-2;\,-1)$	$-1$	$(-1;\,3)$	$3$	$(3;\,6)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	max	↘	min	↗

Шаг 5. Вычисляем значения:

$f(-2) = (-8) — 3 \cdot 4 — 9 \cdot (-2) + 5 = -8 — 12 + 18 + 5 = 3$
$f(-1) = (-1) — 3 \cdot 1 — 9 \cdot (-1) + 5 = -1 — 3 + 9 + 5 = 10$
$f(3) = 27 — 27 — 27 + 5 = -22$
$f(6) = 216 — 108 — 54 + 5 = 59$

Шаг 6. Сравниваем: $\{3;\; 10;\; -22;\; 59\}$

✅ Наибольшее значение: $59$ (достигается при $x = 6$, на конце отрезка).
✅ Наименьшее значение: $-22$ (достигается при $x = 3$, в точке минимума).

Шаг 0 (ОДЗ): Многочлен, ОДЗ $= \mathbb{R}$. Работаем на $[-2;\, 4]$.

$f'(x) = 6x^2 — 6x — 12 = 6(x^2 — x — 2) = 6(x — 2)(x + 1)$

Шаг 2. Стационарные точки: $x = 2$ и $x = -1$. Обе принадлежат $[-2;\, 4]$.

Шаг 3. Таблица знаков:

$x$	$(-2;\,-1)$	$-1$	$(-1;\,2)$	$2$	$(2;\,4)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	max	↘	min	↗

Шаг 4. Вычисляем значения:

$f(-2) = 2 \cdot (-8) — 3 \cdot 4 — 12 \cdot (-2) + 16 = -16 — 12 + 24 + 16 = 12$
$f(-1) = 2 \cdot (-1) — 3 \cdot 1 — 12 \cdot (-1) + 16 = -2 — 3 + 12 + 16 = 23$
$f(2) = 2 \cdot 8 — 3 \cdot 4 — 12 \cdot 2 + 16 = 16 — 12 — 24 + 16 = -4$
$f(4) = 2 \cdot 64 — 3 \cdot 16 — 12 \cdot 4 + 16 = 128 — 48 — 48 + 16 = 48$

✅ Наибольшее значение: $48$ (при $x = 4$).
✅ Наименьшее значение: $-4$ (при $x = 2$).

Шаг 0 (ОДЗ): $\sqrt{x}$ определена при $x \geq 0$. ОДЗ $= [0;\, +\infty)$. Пересечение с $[0;\, 9]$ = $[0;\, 9]$. Работаем на $[0;\, 9]$.

$f'(x) = 1 — 2 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 1 — \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Шаг 2. Стационарные точки: $f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; 1 — \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 1 \;\Rightarrow\; x = 1$. Принадлежит $[0;\, 9]$.

Шаг 3. Точки недифференцируемости: при $x = 0$ производная не существует (деление на $0$). Точка $x = 0$ — конец отрезка, значение $f(0)$ всё равно вычисляется отдельно.

Шаг 4. Таблица знаков на $(0;\, 9)$:

$x$	$(0;\,1)$	$1$	$(1;\,9)$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↘	min	↗

$f(0) = 0 — 2\sqrt{0} = 0$
$f(1) = 1 — 2\sqrt{1} = 1 — 2 = -1$
$f(9) = 9 — 2\sqrt{9} = 9 — 6 = 3$

✅ Наибольшее значение: $3$ (при $x = 9$).
✅ Наименьшее значение: $-1$ (при $x = 1$).

В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не существовать (например $(-\infty; +\infty)$), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале $(-3; 5)$ мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).

Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение $y_{max}$ и $y_{min}$ к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например $\lim\limits_{x\to a+0} f(x)$ и $\lim\limits_{x\to b-0} f(x)$

Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?

Если говорить коротко, то предел функции — это такое число $A$, к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа $a.$

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$$

Предположим, наша функция представлена уравнением $\cfrac{x^2+2x}{x+1}.$ Найдём предел функции при $x=1,$ подставив это значение вместо $x$ в уравнение:

$$\lim\limits_{x\to1}\cfrac{x^2+2x}{x+1}=\lim\limits_{x\to1}\cfrac{1+2}{2}=1$$

Это означает, что функция стремится приблизиться к числу $1,$ в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего уравнения мы могли бы представить это так:

Функция может стремиться не только к рациональному числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает неопределённость, которую необходимо решить разными методами.

Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?

Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.

Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).

Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:

Интервал	Предел
$[a; b)$	$\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$
$(a; b]$	$\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$
$(a; b)$	$\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$
$[a; +\infty)$	$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$
$(-\infty; b]$	$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$
$(-\infty; b)$	$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to b-0}f(x)$
$(-\infty; +\infty)$	$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$

Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее значение невозможно.

Алгоритм сравнения значений на концах отрезка работает только для замкнутых промежутков $[a;\, b]$. Если область — открытый интервал $(a;\, b)$, луч $[a;\, +\infty)$ или вся числовая прямая, нужен другой подход.

Для функции на $(a;\, b)$ или $[a;\, +\infty)$ наибольшее или наименьшее значение может не достигаться — функция может лишь стремиться к некоторому пределу, не достигая его. Алгоритм действий:

Правило единственной критической точки

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a;\, b)$ и имеет единственную критическую точку $x_0$, в которой достигается локальный минимум (максимум), то этот минимум (максимум) является также наименьшим (наибольшим) значением на данном интервале.

Это правило часто используется в прикладных задачах ЕГЭ («найти наименьшее значение себестоимости», «оптимальные размеры упаковки» и т. д.), где область — весь луч $(0;\, +\infty)$.

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=5x^2$ на всём промежутке области определения.

ОДЗ: $x\in R$

$y’=10x$

Найдём стационарные точки: $10x=0, x=0.$

Точка $x=0$ входит в промежуток области определения и является точкой минимума.

Так как $y=5x^2$ — парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку максимума.

$\lim\limits_{x\to — \infty}5x^2=-\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty}5x^2=+\infty$

Решите следующие задачи по алгоритму из раздела выше. Ответы приведены в раскрывающихся блоках.

$f'(x) = 3x^2 — 12x + 9 = 3(x^2 — 4x + 3) = 3(x — 1)(x — 3)$
Стационарные точки: $x = 1$ и $x = 3$
$f(0) = 0 — 0 + 0 + 2 = 2$
$f(1) = 1 — 6 + 9 + 2 = 6$
$f(3) = 27 — 54 + 27 + 2 = 2$
$f(5) = 125 — 150 + 45 + 2 = 22$

✅ Наибольшее: $22$ при $x = 5$. Наименьшее: $2$ при $x = 0$ и $x = 3$.

$f'(x) = 4x^3 — 16x = 4x(x^2 — 4) = 4x(x — 2)(x + 2)$
Стационарные точки: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$
$f(-3) = 81 — 72 + 3 = 12$
$f(-2) = 16 — 32 + 3 = -13$
$f(0) = 0 — 0 + 3 = 3$
$f(2) = 16 — 32 + 3 = -13$
$f(3) = 81 — 72 + 3 = 12$

✅ Наибольшее: $12$ при $x = \pm 3$. Наименьшее: $-13$ при $x = \pm 2$.

ОДЗ: $x > 0$. Пересечение с $\left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$ = $\left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$.
$f'(x) = 1 — \dfrac{1}{x}$
$f'(x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 1 \in \left[\dfrac{1}{2};\, e\right]$ ✓
$f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2} — \ln\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \ln 2 \approx 0{,}5 + 0{,}693 \approx 1{,}193$
$f(1) = 1 — \ln 1 = 1 — 0 = 1$
$f(e) = e — \ln e = e — 1 \approx 1{,}718$

✅ Наибольшее: $e — 1$ при $x = e$. Наименьшее: $1$ при $x = 1$.

Хотите отрабатывать задачи на экстремумы в интерактивном формате с живой обратной связью от преподавателя? Приходите на курсы математики в онлайн-школе Skysmart — разберём все типы задач, включая задание №12 ЕГЭ.

Источник: https://ege-matematika.skysmart.ru/podgotovka/algebra/min-max-points