Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны \(180^{\circ }.\)

\(\angle A +\angle C = 180^{\circ }\)

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

\(a+c=b+d\)

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

\(\triangle AOB\sim \triangle COD, \triangle BOC\sim \triangle AOD\)

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

\(AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD\)

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

\(\displaystyle S=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot r=pr\)

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

\(c+d=a+b\)

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны \(82^{\circ}\) и \(58^{\circ}\). Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180^{\circ}\). Пусть угол \(A\) равен \(82^{\circ}\). Тогда напротив него лежит угол в \(98\) градусов. Если угол \(B\) равен \(58^{\circ}\), то угол \(D\) равен \(180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}\).

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как \(1:2:3\). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен \(32\).

Пусть сторона \(AB\) равна \(x\), \(AD\) равна \(2x\), а \(DC — 3x\). По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
\(x+3x=BC + 2x.\)
Получается, что \(BC\) равна \(2x\). Тогда периметр четырехугольника равен \(8x\). Мы получаем, что \(x=4\), а большая сторона равна \(12\).

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен \(40\). Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(c\), а боковые стороны — \(b\) и \(d\). По свойству описанного четырехугольника,
\(a+c=b+d\), и значит, периметр равен \(2\left( a+c \right)\).
Получаем, что \(a+c=40\), а средняя линия равна \(10\).

Ответ: 10.

Задача 4.  Угол A четырехугольника \(ABCD\), вписанного в окружность, равен \(32^{\circ }\). Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна \(180^{\circ }.\)

Поэтому \( \angle C=180^{\circ } -\angle A=180^{\circ }-32^{\circ }=148^{\circ }.\)

Ответ: 148.

Задача 5.  Углы \(A, B, C\) четырехугольника  \(ABCD\) относятся как \(1:2:3\). Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(\angle A=x, \angle B=2x, \angle C=3x, \angle D=y.\)

Сумма всех углов четырехугольника равна \(360^{\circ }.\)

А сумма каждой пары противоположных углов равна \(180^{\circ }\) (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

\(x+2x+3x+y=360;\)
\(2x+y=180. \)

Подставляем второе уравнение в первое и получаем \(4x=180, x=45, y=90^{\circ }.\)

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника \(ABCD\)  \(BC\) и \(CD\)  стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно \(107^{\circ }\) и \(39^{\circ }\). Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна \(180^{\circ }\).

Поэтому \( \angle C=180^{\circ } -\angle A.\)

Угол А – вписанный, опирается на дугу \(BD\), равную сумме дуг \(BC\) и \(CD\), т.е. \(107^{\circ }+39^{\circ }=146^{\circ }.\)

Тогда вписанный угол А равен половине дуги \(BD\), т.е. \(146^{\circ }:2=73^{\circ }.\)

\( \angle C=180^{\circ } -\angle A=180^{\circ }-73^{\circ }=107^{\circ }.\)

Ответ: 107.

Задача 7. Точки \(A, B, C, D,\) расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги \(AB, BC, CD\) и \(AD,\) градусные величины которых относятся соответственно как \(7 : 1 : 2 : 26.\) Найдите угол A четырехугольника \(ABCD.\) Ответ дайте в градусах.

Угол А – вписанный, опирается на дугу \(BD,\) равную сумме дуг \(BC\) и \(CD.\) Найдем дуги \(BC\) и \(CD.\)

Обозначим градусные величины дуг \(AB, BC, CD\) и \(AD\) как \(7x, x, 2x, 26x\) согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда \(7x+x+2x+26x=360\) или \(36x=360, x=10^{\circ }.\)

Сумма дуг \(BC\) и \(CD\) составляет \(x+2x=30^{\circ }.\)

Вписанный угол А равен половине дуги \(BD,\) т.е. \(30^{\circ }:2=15^{\circ }.\)

Ответ: 15.

Задача 8.  Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(16\sqrt{2}.\)  Найдите длину стороны этого квадрата.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна \(d=2\cdot 16\sqrt{2}=32\sqrt{2}=a\sqrt{2}.\)

Выразим сторону квадрата через его диагональ: \(\displaystyle a=\frac{d}{\sqrt{2}}=32.\)

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен \(60^{\circ }\), большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD=2a, BC=a.\)

Тогда боковые стороны \(AB=CD=a.\)

Проведем \(BO\) параллельно \(CD.\) Тогда треугольник \(ABO\) – равнобедренный, т.к. \(\angle BAO = \angle AOB,\) и равносторонний, т.к. \(\angle A = 60^{\circ }.\) Поэтому \(AO=a.\)

\(BCDO\) – параллелограмм по построению, но \(BC=CD\), поэтому \(BCDO\) – ромб, и \(OD=a.\)

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию – \(12:2 = 6.\)

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, \(6\cdot 2=12\) см.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований \(AD+BC=25\cdot 2=50.\)

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований: \(AB+CD=60-50=10.\)

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \(AB=CD=10:2=5.\)

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и \(\sqrt{155}.\)

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как \(d=\sqrt{169+155}=18.\)

Радиус окружности равен половине диаметра: \(18:2=9.\)

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому \(r = 8.\)

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона \(CB = 7,\) тогда боковая сторона \(AD = 11-7 = 4.\)

Радиус вписанной окружности равен половине \(AD,\) т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: \(2\cdot 14=28.\)

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна \(19+13=32.\)

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований \(32:2=16.\)

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S=pr=8\cdot 2=16.\)

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD, AC\perp BD.\)

Проведем \(CK\parallel BD.\) Треугольник \(ACK\) – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза \(AK\) равна сумме оснований трапеции (т.к. \(BCKD\) – параллелограмм, и \(BC = KD\)), \(2\cdot 12= 24.\)

Высота трапеции \(CH\) является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника \(ACK\).

\(CH = AK:2 = 12.\)

Радиус вписанной окружности \(r = CH:2 = 6.\)

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту \(MN,\) проходящую через точку О. Тогда \(OC = OD = 5\) (радиусы окружности), \(CM = BC:2 = 3,

DN = AD:2 = 4.\)

Треугольники \(OMC\) и \(OND\) – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем: \(OM = 4, ON = 3.\)

\(MN = OM + ON = 7.\)

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник \(ABCD\) можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а \(AB=2BC.\)

Обозначим \(BC=x.\) Тогда \(AB=2x.\)

Обозначим также \(CD=z, AD=y.\)

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, \(x+y=2x+z.\) Отсюда \(y=x+z.\)

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD.\)

При пересечении \(AC\) и \(BD\) образуется четыре прямоугольных треугольника. Это \(\triangle AOB, \triangle COB, \triangle COD, \triangle AOD.\)

Пусть \(AD=a, BO=b, CO=c, DO=d.\)

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из \(\triangle AOB: 4x^{2}=a^{2}+b^{2}.\)

Из \(\triangle BOC: x^{2}=b^{2}+c^{2}.\)

Из \(\triangle COD: z^{2}=c^{2}+d^{2}.\)

Из \(\triangle AOD: y^{2}=a^{2}+d^{2}.\)

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив \(x^{2}+y^{2}\) как \(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},\) получим: \(4x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}.\)

Кроме того, \(y=x+z.\) Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

\(\begin{cases}
3x^{2}+z^{2}=y^{2} \\
y=x+z
\end{cases}\)

находим: \(y=2x, z=x.\)

Значит, \(AD=AB, CD=BC.\)

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность.

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по трем сторонам. Значит, углы \(ABC\) и \(ADC\) равны.

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, поэтому сумма углов \(ABC\) и \(ADC\) равна 180 градусов. Мы получили, что углы \(ABC\) и \(ADC\) – прямые. Тогда \(AC\) – диаметр окружности.

По условию, \(R=5\), тогда \(AC=10.\)

\(\angle CAB\) опирается на диаметр.

\(\triangle ACB\) – прямоугольный, \(AC\) – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для \(\triangle ACB\):

\(100=x^{2}+4x^{2}.\)

Отсюда \(x^{2}=20.\)

\(S_{ABCD}=2\cdot S_{\triangle ABC}=2x^{2}=40.\)

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva/?utm_num_popup=1%3Futm_num_popup%3D1